（感知）小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：如图，在中，，D为BC上一点，过点D作，交AC于点E ．求证： ∽ ．小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到 ∽ ．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．（探究）在中，，，D为BC上一点．

1. （感知）小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D为BC上一点，

过点D作 $\text{[math]}$ ，交AC于点E ．

求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ．

小明同学分析后发现， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角，可得 $\text{[math]}$ ，再结合已知条件可以得到 $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．

（探究）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC上一点．

(1) 如图②，过点D作 $\text{[math]}$ ，交AC于点E ．当 $\text{[math]}$ 时，AD的长为．

(2) 如图③，过点D作 $\text{[math]}$ ，分别交AB、AC于点F、E ．当 $\text{[math]}$ 时，BF的长的取值范围为．

【考点】

三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 提出问题：

如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为；

(2) 问题探究：

如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；

(3) 解决问题：

如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

2. 综合与实践

综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

(1) 【操作发现】对折 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平，如图 $\text{[math]}$ 小明根据以上操作发现：四边形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形” $\text{[math]}$ 请写出图 $\text{[math]}$ 中筝形 $\text{[math]}$ 的一条性质．

(2) 【探究证明】如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设筝形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 【迁移应用】在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，当四边形 $\text{[math]}$ 是筝形时，请直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题困难

3. 在一次数学研究性学习中，小亮将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使A，B，E，D在一条直线上，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合(如图1)，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并进行如下研究活动.

(1) 活动一：将图1中的纸片DEF沿BA方向平移，连结CE，BF（如图2），当点E与点 $\text{[math]}$ 重合时停止平移.

【发现1】图2中的 $\text{[math]}$ ，请说明理由.

【发现2】当纸片DEF平移到某一位置时，小亮发现 $\text{[math]}$ 为直角(如图3).求AE的长.

(2) 活动二：当点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合后，再将纸片DEF绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ，使得EF与AC在一条直线上，ED与BC交于点 $\text{[math]}$ ，在AB上取点 $\text{[math]}$ ，连结CM交DE与点 $\text{[math]}$ ，连结BN并延长BN交AC于点 $\text{[math]}$ .

【探究】当 $\text{[math]}$ (如图4)时，探究CK与AK的数量关系，并说明理由.

实践探究题困难