已知函数是定义在上的偶函数，满足．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：函数 $\text{[math]}$ 是周期函数．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 恰有14个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

奇偶函数图象的对称性; 函数的周期性; 函数的零点与方程根的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已函数 $\text{[math]}$ ，其图象的对称中心为 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数.

解答题普通

2. 设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x₁、x₂∈R，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂）．

(1) 若f（x）=ax³+1，求a的取值范围；

(2) 若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；

(3) 设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．

解答题困难

3. 设f_n(x)=x+x²+x...+x^n-1, n $\text{[math]}$ N, n≥2。

(2) 证明:f_n(x)在（0， $\text{[math]}$ ）内有且仅有一个零点（记为a_n)，且0<a_n- $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )ⁿ.

解答题普通