如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．

1. 如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，现有一动点 $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着三角形的边 $\text{[math]}$ 运动，回到点 $\text{[math]}$ 停止，速度为 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 面积的一半时，求 $\text{[math]}$ 的值：

(2) 如图②，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的边上，若另外有一个动点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 同时从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着边 $\text{[math]}$ 运动，回到点 $\text{[math]}$ 停止．在两点运动过程中的某一时刻，以 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形恰好与 $\text{[math]}$ 全等，求点 $\text{[math]}$ 的运动速度．

【考点】

三角形的角平分线、中线和高; 三角形全等及其性质; 三角形-动点问题;

【答案】

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解答题普通

1. （动点、全等）如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 动点P从点O出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线 $\text{[math]}$ 以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒， $\text{[math]}$ 的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；

(3) 在（2）的条件下，点F是直线 $\text{[math]}$ 上的一点且 $\text{[math]}$ ．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．

(1) 若点P在线段BC上以3cm／s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，ΔBPD与ΔCQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ΔBPD与ΔCQP全等？

(2) 若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ΔABC三边运动，则经过秒点P与点Q第一次在ΔABC的条边上相遇？

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 厘米，BC = 8 厘米，点D为AB的中点，已知点P在线段BC上由点B出发向终点C 运动，同时点 Q在线段CA 上由点C出发向终点A运动.设运动时间为t 秒.

(1) 若点 P 的速度是3 厘米/ 秒，用含t的式子表示线段BP 和CP 的长度；

(2) 若点 P 的速度是3 厘米/ 秒，点Q 的速度是a 厘米/ 秒，且△BPD 和△CPQ恰好全等，求出相对应的 a 和t 的值；

(3) 若点P比点Q的运动速度每秒快1厘米，请直接写出t为何值时，△BPD是以∠B为顶角、 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为顶角的等腰三角形.

解答题普通