如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.

1. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于异于点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 均不与 $\text{[math]}$ 轴垂直.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的方程；

(3) 记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值.

【考点】

椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知点P在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l的斜率为k（k≠0），直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆E的方程和短轴长；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ，焦距长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值；

(3) 直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是一个与 $\text{[math]}$ 无关的常数，则当四边形 $\text{[math]}$ 面积最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难