已知正四面体的内切球的表面积为．

1. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的内切球的表面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该内切球的半径；

(2) 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 $\text{[math]}$ ，求所得截面的面积．

【考点】

球的表面积与体积公式及应用; 球内接多面体;

【答案】

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解答题普通

1. 三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，球 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体、棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的内切球均为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如果在球面上任意一点作切平面 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离的乘积的最小值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题困难

2. 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $\text{[math]}$ ，过球面上一点 $\text{[math]}$ 作两条大圆的弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ），其值为二面角 $\text{[math]}$ 的大小，点 $\text{[math]}$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\text{[math]}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $\text{[math]}$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧称为球面 $\text{[math]}$ 的边， $\text{[math]}$ 三点称为球面 $\text{[math]}$ 的顶点；三个球面角 $\text{[math]}$ 称为球面 $\text{[math]}$ 的三个内角.

已知球心为 $\text{[math]}$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $\text{[math]}$ ．

(1) 球面 $\text{[math]}$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $\text{[math]}$ ，求球面 $\text{[math]}$ 的内角和；

(2) 类比二面角，我们称从点 $\text{[math]}$ 出发的三条射线 $\text{[math]}$ 组成的图形为三面角，记为 $\text{[math]}$ .

其中点 $\text{[math]}$ 称为三面角的顶点， $\text{[math]}$ 称为它的棱， $\text{[math]}$ 称为它的面角. 若三面角 $\text{[math]}$ 的三个面角的余弦值分别为 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求球面 $\text{[math]}$ 的三个内角的余弦值；

（ⅱ）求球面 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题困难

3. 已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $\text{[math]}$ ，且这个几何体的体积为10.

(1) 求棱 $\text{[math]}$ 的长：

(2) 求几何体 $\text{[math]}$ 的表面积.

解答题普通