据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为.

1. 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为 $\text{[math]}$ ，其中球冠高为 $\text{[math]}$ .

(1) 类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；

(2) 在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的 $\text{[math]}$ 有且只有一个，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

组合几何体的面积、表面积、体积问题; 球内接多面体; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，球 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体、棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的内切球均为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如果在球面上任意一点作切平面 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离的乘积的最小值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题困难

2. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．

(1) 求该几何体的体积；

(2) 求该几何体的表面积．

解答题普通

3. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高 $\text{[math]}$ 为2米，球的半径 $\text{[math]}$ 为0.5米.

（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；

（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆锥形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）.

解答题普通