如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2 ，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2 ，化简便得结论a2＋b2＝c2 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：

1. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c² ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 $\text{[math]}$ ab×4＋（b－a）² ，从而得到等式c²＝ $\text{[math]}$ ab×4＋（b－a）² ，化简便得结论a²＋b²＝c² ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：

(1) 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．

(2) 如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

【考点】

勾股定理;

【答案】

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证明题普通

1. 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ $\text{[math]}$ ， PA= $\text{[math]}$ ，则：

①线段PB= ， PC= ；

②猜想：PA² ， PB² ， PQ²三者之间的数量关系为；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．（提示：请利用备用图进行探求）

证明题困难

2. （1）求下列直角三角形中未知边的长．

① $\text{[math]}$ ___________ ，② $\text{[math]}$ ___________；

（2）如图3，已知点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 相交于点F． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

3. 如图在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ .

证明题普通