综合与探究【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过点作，通过平行线的性质来求的度数．【问题解决】（1）按小明的思路，______【问题迁移】（2）如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点在直线上运动，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．

1. 完成下面的证明：已知：如图， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ．

证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ （）．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ∥ （）．

$\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ （）．

证明题容易

2. 阅读并完成下面的证明：

如图 $\text{[math]}$ ，点F在线段 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 的延长线与线段 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解：∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ _________（____________________________）．

∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ _____________（________________________）．

∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ ．

即 $\text{[math]}$ ___________．

∵ $\text{[math]}$ （已证），

∴____________=______________（等量代换）．

∴ $\text{[math]}$ （_________________________________）

证明题容易

3. 完成下面的证明．

已知：如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补， $\text{[math]}$ ，

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：∵ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补，

即 $\text{[math]}$ ，（已知）

∴________ $\text{[math]}$ ________．（___________________________）

∴ $\text{[math]}$ ．（___________________）

又∵ $\text{[math]}$ ，（已知）

∴ $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ ．（___________________________）

∴______ $\text{[math]}$ _______．（______________________________）

∴ $\text{[math]}$ ．（________________________）

证明题容易

1. 如图，一束光线 $\text{[math]}$ 射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，经平面镜 $\text{[math]}$ 反射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，又经平面镜 $\text{[math]}$ 反射得到光线 $\text{[math]}$ ，反射过程中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有什么关系时，光线 $\text{[math]}$ 与光线 $\text{[math]}$ 平行．

解答题普通

2. 一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵．结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节．广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”．为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 逆时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转．若灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒，灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒．假定广场两侧的灯带是平行的，即 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，灯 $\text{[math]}$ 射线经过多少秒，第一次照射到灯 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为 $\text{[math]}$ 秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的 $\text{[math]}$ ；

(3) 两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯 $\text{[math]}$ 射线到达 $\text{[math]}$ 之前，若射出的光束 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ ______________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②作 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

解答题困难

3. 阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点 $\text{[math]}$ 且垂直于反射面的直线 $\text{[math]}$ 叫做法线；入射光线 $\text{[math]}$ 与法线的夹角 $\text{[math]}$ 叫做入射角；反射光线 $\text{[math]}$ 与法线的夹角 $\text{[math]}$ 叫做反射角．

光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角．

如图，直线 $\text{[math]}$ ，点A在直线 $\text{[math]}$ 上，点C在直线 $\text{[math]}$ 上，光线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 反射后再次被 $\text{[math]}$ 反射，入射光线 $\text{[math]}$ 经过两次反射的光线为 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．

(1) 在图中画出光线 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是______．

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，要使光线 $\text{[math]}$ 与光线 $\text{[math]}$ 所在直线垂直，则 $\text{[math]}$ 为______度．

(3) 直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 和旋转角 $\text{[math]}$ 之间的数量关系______．

(4) 已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，要使光线 $\text{[math]}$ 能被 $\text{[math]}$ 反射，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为______．

解答题困难

1. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．

（1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面 $\text{[math]}$ 上，镜面 $\text{[math]}$ 的调节角 $\text{[math]}$ ，激光笔发出的光束 $\text{[math]}$ 射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，则反射光束 $\text{[math]}$ 与天花板所形成的角 $\text{[math]}$ 的度数为；