如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

1. 如图，已知：点A、C、B不在同一条直线， $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，AQ、BQ分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线所在直线，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(3) 如图③，在（2）的前提下，且有 $\text{[math]}$ ，直线AQ、BC交于点P ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ .

【考点】

平行线的性质; 平行线的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

(1) 导入：如图①，已知 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 发现：如图②，直线 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 运用：如图③，已知 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 三点不重合）， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并说明理由．

综合题困难

2. 已知直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，点B、C为平面内两点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，点 $\text{[math]}$ 在直线MN上方时，CB交PQ于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上且在点 $\text{[math]}$ 左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线MN与PQ之间的，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线PQ于点 $\text{[math]}$ ，请猜测 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，且在点 $\text{[math]}$ 左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线PQ下方时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线PQ于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线交直线MN于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题困难

3. 如图，政府规划由西向东修一条公路.从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E.

(1) 补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；

(2) 原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系.

综合题普通