几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

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1. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

(1) 导入：如图①，已知 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 发现：如图②，直线 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 运用：如图③，已知 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 三点不重合）， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并说明理由．

【考点】

平行线的性质; 平行线的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知：点A、C、B不在同一条直线， $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，AQ、BQ分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线所在直线，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(3) 如图③，在（2）的前提下，且有 $\text{[math]}$ ，直线AQ、BC交于点P ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ .

综合题普通

2. 一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵．结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节．广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”．为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 逆时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转．若灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒，灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒．假定广场两侧的灯带是平行的，即 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，灯 $\text{[math]}$ 射线经过多少秒，第一次照射到灯 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为 $\text{[math]}$ 秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的 $\text{[math]}$ ；

(3) 两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯 $\text{[math]}$ 射线到达 $\text{[math]}$ 之前，若射出的光束 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ ______________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②作 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

综合题困难

3. 已知直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，点B、C为平面内两点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，点 $\text{[math]}$ 在直线MN上方时，CB交PQ于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上且在点 $\text{[math]}$ 左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线MN与PQ之间的，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线PQ于点 $\text{[math]}$ ，请猜测 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 在直线MN上，且在点 $\text{[math]}$ 左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线PQ下方时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线PQ于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线交直线MN于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题困难