给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

1. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1) 以下四边形中，是勾股四边形的为（填序号即可）；

①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为 $\text{[math]}$ 的菱形．

(2) 如图1，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．

①连接AD ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．

②如图2，将DE绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转得到EF ，连接BF ， BF与AE交于点 $\text{[math]}$ ，连接CP ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AC的长度．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等边三角形的性质; 解直角三角形; 旋转的性质; 多边形的内角和公式;

【答案】

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综合题困难

1. 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，且始终满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并证明你的结论．

综合题困难

2. 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AE，连接DE，CE．

(1) 求证：BD=CE；

(2) 延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．

综合题普通

3. 问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD = 65°，∠DAC = 50°，AD = 2，求AC的长为多少．

(1) 探索发现；

小明的思路是：延长AD至点E ，使DE = AD ，构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB ，交AD的延长线于点E ，构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．

(2) 类比应用：如图②，

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC = 67.5°，AO = 2，则BC的长为．

综合题普通