已知向量，的夹角为，且．

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角; 平面向量数量积的坐标表示; 平面向量的数量积运算;

【答案】

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解答题普通

1. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $\text{[math]}$ 看作一个向量，记 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，我们有如下运算法则：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

(2) 由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ .试判断这两个结论是否正确，并说明理由.

(3) 若 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对于任意的 $\text{[math]}$ ，求出满足条件 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，并将此时的 $\text{[math]}$ 记为 $\text{[math]}$ ，证明对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

解答题困难

2. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是单位向量，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

解答题普通