认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

1. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

(1) 探究1：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，O是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想．

(2) 探究2：如图2中，O是 $\text{[math]}$ 与外角 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点，试分析 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的关系？请说明理由．

(3) 探究3：如图3中，O是外角 $\text{[math]}$ 与外角 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的关系？请说明理由．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质;

【答案】

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证明题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D． $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：在 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ （），

又 $\text{[math]}$ （已知），

$\text{[math]}$ = .

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ （已知），

$\text{[math]}$ （角平分线定义）.

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角（已知），

$\text{[math]}$ + （），

$\text{[math]}$ .

证明题普通

2. 某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：

【习题回顾】

已知：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，角平分线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点O．求 $\text{[math]}$ 的度数．

（1）若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ ______；

【变式思考】

（2）若 $\text{[math]}$ ，请猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由；

【拓展延伸】

（3）已知：如图2，在 $\text{[math]}$ 中，角平分线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点O，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G．若 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由．

证明题普通

3. 【探究】如图①，在 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 相交于点P．则有 $\text{[math]}$ ，

请补全下面证明过程：

证明： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ______（______）．

$\text{[math]}$ ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

$\text{[math]}$ ．

即 $\text{[math]}$ （等式性质）．

$\text{[math]}$ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

$\text{[math]}$ ．

【应用】

如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，四边形的内角 $\text{[math]}$ 与外角 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 相交于点P．为了探究 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点A．如图③，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ．

【拓展】

如图④，在四边形 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，四边形的内角 $\text{[math]}$ 与外角 $\text{[math]}$ 的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出 $\text{[math]}$ ______．（用含有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

证明题普通