某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．

1. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．

(1) 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为______．

(2) 如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

矩形的性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，已知在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点（不与点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 重合），将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出图1中一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 的中点时，求阴影部分的面积；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 在四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上．

(1) 如图①，当四边形 $\text{[math]}$ 是正方形时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是________；

(2) 当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，

①如图②，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值________；

②如图③，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ________．