△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B ， C重合），连接AE ，在AE的左侧作等边三角形AED ，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF ，连接BF ，交DE于点M ．

1. △ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B ， C重合），连接AE ，在AE的左侧作等边三角形AED ，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF ，连接BF ，交DE于点M ．

(1) 如图1，当点E为BC中点时，线段DM与EM的数量关系是；

(2) 如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 当BC＝6，CE＝2时，请求出DM的长．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，当 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的任意一点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，如图1，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

(1) 猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为，位置关系为；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ 为锐角时，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长及 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿 $\text{[math]}$ 向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿 $\text{[math]}$ 向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出P，Q两点间的距离．

(2) 是否存在t，使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3) 是否存在t，使得 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．

综合题普通

3. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．

(1) 如图1，若α=90°，则AB=，并求AA′的长；

(2) 如图2，若α=120°，求点O′的坐标；

(3) 在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．

综合题困难