在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题．

1. 在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题．

(1) 如图①，“智慧组”在等边 $\text{[math]}$ 中，作 $\text{[math]}$ 于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形 $\text{[math]}$ 中，如果一个锐角等于 $\text{[math]}$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ 中等于 $\text{[math]}$ 的角为_____；② $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （直接填空）

(2) “奋进组”直接探究了下面的问题：

已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰，在 $\text{[math]}$ 外作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是个定值，利用图②求出 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) “创新组”发现：在图②取 $\text{[math]}$ 中点F，连接 $\text{[math]}$ 并延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则可得出线段 $\text{[math]}$ 的长．请求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

（1）如图1，两个等腰三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ _______________，此时线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系式_____________________；

（2）如图2，两个等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两线交于点P，请判断线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由；

（3）如图3，分别以 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向 $\text{[math]}$ 外作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两线交于点P．请直接写出线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的度数．