如图，矩形中，，，点P为边上一动点，交于点Q．

1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 边上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) P点从A点出发沿 $\text{[math]}$ 边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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证明题普通

1. 折纸是--种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

如图1，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；此时，就可以得到一个四边形 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状是哪种特殊的四边形?答：______．

（2）深入探究

继续沿过点E的直线翻折，使点C落在 $\text{[math]}$ 边上的点G处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ 的度数为______；

②猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明：

拓展应用

延长 $\text{[math]}$ 交矩形 $\text{[math]}$ 的边于点N，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

证明题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

3. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S_四边形_ECBF=3S_△_EDF ，求AE的长；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

证明题困难