在中，内角，，的对边分别为，，，且.

1. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，证明：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ .

【考点】

解三角形; 正弦定理的应用; 三角形中的几何计算;

【答案】

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解答题困难

1. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋ $\text{[math]}$ asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝ $\text{[math]}$ ， AD＝ $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积．

解答题普通

2. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 即为费马点；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 $\text{[math]}$ 到各顶点的距离之和；

(2) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点．

（i）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（ii）求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积S的取值范围.

解答题普通