辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．题眼1．普通三角形+中点2．等腰三角形+底边中点3．直角三角形+斜边中点4．两个中点大致图形辅助线名称倍长中线三线合一斜边中线中位线具体做法延长到点E，使，连接连接连接连接产生效果 ①②

1. 辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．

题眼	1．普通三角形+中点	2．等腰三角形+底边中点	3．直角三角形+斜边中点	4．两个中点
大致图形
辅助线名称	倍长中线	三线合一	斜边中线	中位线
具体做法	延长 $\text{[math]}$ 到点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$	连接 $\text{[math]}$	连接 $\text{[math]}$	连接 $\text{[math]}$
产生效果	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$	①	②

(1) 请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）

(2) 如图①，在三角形中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条中线， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上两个不同的动点，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）作等边三角形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， F分别是 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 的周长取最大值时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 三角形的中位线定理;

【答案】

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解答题普通

1. 问题提出：

（1）如图1， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的平分线上， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求线段 $\text{[math]}$ 的最小值；

问题解决：

（2）如图2，有一个圆心角为 $\text{[math]}$ 、半径为20米的扇形舞台 $\text{[math]}$ ．现要在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上确定两点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，并在 $\text{[math]}$ 之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ 来安装一照明角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ 的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．要使幕布 $\text{[math]}$ 长最短，则 $\text{[math]}$ 长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积（即 $\text{[math]}$ 的面积）．