数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．

1. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．

(1) 我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，（点B，C，D在一条直线上）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 请利用“数形结合”思想，画图推算出 $\text{[math]}$ 的结果．

【考点】

完全平方公式的几何背景; 勾股定理的证明;

【答案】

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证明题普通

1. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长．

证明题普通

2. 图1是一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形 $\text{[math]}$ ．

(1) 观察图2填空：正方形 $\text{[math]}$ 的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；

(2) 观察图2，试猜想式子 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系，并证明你的结论；

(3) 根据（2）中的等量关系，解决如下问题：

①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

证明题普通

3. 勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：

已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD.

求证：AB²＝BE²+AE².

证明题普通