平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．

1. 平面直角坐标系中有 $\text{[math]}$ 只蚂蚁，分别位于点 $\text{[math]}$ ．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量 $\text{[math]}$ 为一次操作后 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）中的“空点”数目．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

(2) 定义随机变量 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望 $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值，使得 $\text{[math]}$ ．

（参考公式：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题困难

1. 已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．

(1) 求摸球三次后刚好停止摸球的概率；

(2) 记摸球的次数为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望．

解答题普通

2. 2025年，玉溪一中将迎来百年华诞，在本次庆祝活动中，学校某社团计划设计一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个目标投掷，先向目标 $\text{[math]}$ 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标 $\text{[math]}$ 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，套中目标 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求小明恰好套中2次的概率；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

解答题普通

3. 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A ， B ， C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.

(1) 求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；

(2) 求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.

解答题普通