南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.

1. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 $\text{[math]}$ 层球数比第 $\text{[math]}$ 层球数多 $\text{[math]}$ ，设各层球数构成一个数列 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难

2. 函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

解答题困难

3. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 $\text{[math]}$ 颗番石榴（不妨设 $\text{[math]}$ 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 $\text{[math]}$ 颗番石榴，自第 $\text{[math]}$ 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设 $\text{[math]}$ ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $\text{[math]}$ 的最大值及 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的值.

（取 $\text{[math]}$ ）

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