学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图，在四边形中，，垂足为，若，，，则的长为．他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，， ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．

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1. 学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，那么在四边形 $\text{[math]}$ 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．

(1) 请你直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，分别在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上向外作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

勾股定理; 三角形全等的判定-SAS; 等腰三角形的概念;

【答案】

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解答题困难

1. 如图①已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，按照图①的位置摆放，直角顶点 $\text{[math]}$ 重合．

（1）写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；

（2）如图②，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长为________．

（3）如图③，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点D在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的右侧作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 存在何种数量关系？请说明理由．

②请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系_________．

(2) 如图2，若点D在线段 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的右侧作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系是_________．

(3) 如图3，若点D在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的左侧作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为_________．

解答题困难

3. 同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题：

(1) 如图1，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，将长方形 $\text{[math]}$ 对折，使得边 $\text{[math]}$ 、边 $\text{[math]}$ 重合，折痕与边 $\text{[math]}$ 、边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 、线段 $\text{[math]}$ 分别交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长是多少 $\text{[math]}$

②当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着线段 $\text{[math]}$ 折叠，使得点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长是多少?

解答题普通