自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、

1. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、

(1) 已知报名者 $\text{[math]}$ 组人数之比为 $\text{[math]}$ ，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设 $\text{[math]}$ 组中的每一个人答对某道题的概率分别为 $\text{[math]}$ ，从中任选一人，求此人答对该题的概率；

(2) 从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记 $\text{[math]}$ 为其中女性的人数，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．

【考点】

离散型随机变量的期望与方差; 概率分布列; 条件概率与独立事件; 全概率公式;

【答案】

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解答题普通

1. 甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.

(1) 求前4个回合甲发球两次的概率；

(2) 求第4个回合甲发球的概率；

(3) 设前4个回合中，甲发球的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望.

解答题困难

2. 根据过去50年的水文资料，对某水库的年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）进行统计整理得到下表：

年入流量x	[20，40)	[40，60)	[60，80)	[80，100)	[100，120)
年数	5	10	20	10	5

将过去50年统计所得的年入流量在五个区间的频率作为年入流量在相应区间的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

已知各年的发电机最多可运行台数N与年入流量x相关，关系如下表：

年入流量x	[40，60)	[60，80)	[80，100)	[100，120)
发电机最多可运行台数N	1	2	3	4

(1) 德国数学家高斯用取整符号“[ ]”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数.例如，当0<x<1时，[x]=0.请运用取整运算，写出发电机最多可运行台数N关于年入流量x的函数解析式；

(2) 当地政府计划在该水库建一座水电站．当发电机正常运行，年利润为4000万元/台；当发电机未运行，年亏损500万元/台．若要使发电机的年总利润的期望值最大，则该水库应安装多少台发电机?

解答题普通

3. 为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2) 若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 $\text{[math]}$ ，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

解答题普通