如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 当等腰 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 落在正方形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 请探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论．

【考点】

正方形的性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)

(1) 在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；

(2) 在图2 中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．

综合题普通

2. 如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．

求证：

(1) ∠BDF＝∠BAC；

综合题普通

3. 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 试说明： $\text{[math]}$ ；

(2) 在图1中，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 成立吗？为什么？

(3) 根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，BC∥AD(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E 是AB 的中点，且∠DCE＝45°，BE=2，求DE的长.

综合题困难