如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案在上分别取点E，F，使得作于点E，于点F请回答下列问题：

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点．某数学兴趣小组要在 $\text{[math]}$ 上找两个点E，F，使四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：

甲方案

乙方案

在 $\text{[math]}$ 上分别取点E，F，使得 $\text{[math]}$

作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F

请回答下列问题：

(1) 选择其中一种方案，并证明四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；

(2) 在（1）的基础上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为______．

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形全等及其性质; 平行四边形的判定与性质;

【答案】

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证明题普通

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

下面是小明同学不完整的证明过程，请你在横线上补充完整，并在括号里填上每一步的推理依据．

证明： $\text{[math]}$ （已知），

$\text{[math]}$ __________（__________）．

$\text{[math]}$ （__________）．

$\text{[math]}$ __________ $\text{[math]}$ （__________）

$\text{[math]}$ （__________）

$\text{[math]}$ __________ $\text{[math]}$ （两直线平行，同旁内角互补）．

$\text{[math]}$ （__________）．

$\text{[math]}$ （__________）．

证明题普通

2. $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 顶点 $\text{[math]}$ 的一条直线， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的内部，且 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；

②如图2，若 $\text{[math]}$ ，请添加一个关于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的外部， $\text{[math]}$ ，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

证明题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

证明题普通