如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点．点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．

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1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上运动时，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 是平面内任意一点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数-动态几何问题; 利用一般式求二次函数解析式; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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综合题普通

(1) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ 。

①请直接写出抛物线的解析式及点D的坐标；

②如图，点E和点C关于拋物线对称轴对称，若点 $\text{[math]}$ 是对称轴上一点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点 $\text{[math]}$ ，使以点E、F、G、H为顶点的四边形是菱形，且 $\text{[math]}$ ，请先直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，再选择一种情况说明理由.

(2) 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点，若在 $\text{[math]}$ 轴上存在唯一的一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求m的值.

综合题困难

2. 如图，已知直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于A、B，抛物线y＝ax²+bx+c过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1) 若y＝ax²+bx+c是由y＝﹣2x²+1平移得到的，其顶点为M，对称轴交AB于点N．

①求抛物线的解析式；

②是否存在点P，使得四边形MNPD为平行四边形？

(2) 当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得△BPD为直角三角形？

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) 平移抛物线 $\text{[math]}$ 得抛物线 $\text{[math]}$ ，两抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线分别交抛物线 $\text{[math]}$ 和平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

$\text{[math]}$ 平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长；

$\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题普通