如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线．

1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) 平移抛物线 $\text{[math]}$ 得抛物线 $\text{[math]}$ ，两抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线分别交抛物线 $\text{[math]}$ 和平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

$\text{[math]}$ 平移后的抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长；

$\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c交x轴于A ， B两点，交y轴于点C ，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC ， DB ，设△BCD的面积为S ，求S的最大值；

(3) 当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标．

综合题普通

2. 如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-4，0），B（2，0）两点，与y轴交于C（0，8），M是该抛物线的顶点．

(1) 求抛物线的函数表达式和点M的坐标；

(2) 在抛物线A，C两点之间（不包含A，C两点），是否存在一点D，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 若E是x轴上的一个动点，F为平面直角坐标系内的一点，当以A，C，E，F为顶点的四边形为菱形时，请求出满足条件的点E的坐标.

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 连接BC与OP，交于点D，求当 $\text{[math]}$ 的值最大时点P的坐标；

(3) 点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长.

综合题困难