如图，将矩形纸片折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为．

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1. 如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，折痕分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 与点A重合，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为_______________．

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，求线段 $\text{[math]}$ 的长的取值范围．

【考点】

勾股定理; 菱形的判定; 矩形的性质; 正方形的判定与性质;

【答案】

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证明题困难

1. 如图矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 交于点O，过点B作 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

证明题普通

2. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 $\text{[math]}$ 页的练习中的第 $\text{[math]}$ 题．

点 $\text{[math]}$ 是矩形边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，矩形的两条边长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 到矩形的两条对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之和．（提示：记对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ）．

(1) 【问题解决】小明发现：如图①，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，利用矩形对角线的性质 $\text{[math]}$ ，便可求出 $\text{[math]}$ 的值，请你运用小明发现的方法，求出点 $\text{[math]}$ 到矩形的两条对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之和

(2) 【规律应用】如图②，当点 $\text{[math]}$ 是矩形边 $\text{[math]}$ 上任意一点时， $\text{[math]}$ _______．

(3) 【规律探究】如图③，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上任意一点时，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 ______．

证明题普通

3. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“矩形的折叠”主题下设计的问题，请你解答．

如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，折痕分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 观察发现

如图1，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为．

(2) 探究迁移

如图2， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展应用

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，求线段 $\text{[math]}$ 的长的取值范围．

证明题困难