巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生6040100女生2080100合计80120200

1. 巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	60	40	100
女生	20	80	100
合计	80	120	200

(1) 根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？

(2) 该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率；

(3) 现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据．

证明： $\text{[math]}$

附： $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

【考点】

独立性检验的应用; 相互独立事件的概率乘法公式; 二项分布; 条件概率;

【答案】

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解答题困难

1. 随着人工智能的进一步发展， $\text{[math]}$ 逐渐进入大众视野． $\text{[math]}$ 是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为 $\text{[math]}$ 会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家 $\text{[math]}$ 企业开展调查，统计每家企业一年内应用 $\text{[math]}$ 的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

$\text{[math]}$ 应用广泛性	招聘人数减少	招聘人数增加	合计
广泛应用	60	50	110
没有广泛应用	40	50	90
合计	100	100	200

(1) 根据小概率 $\text{[math]}$ 的独立性检验，是否有99%的把握认为 $\text{[math]}$ 企业招聘人数的增减与 $\text{[math]}$ 应用的广泛性有关？

(2) 用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用 $\text{[math]}$ 的企业有X家，事件“ $\text{[math]}$ ”的概率为 $\text{[math]}$ ．求X的分布列并计算使 $\text{[math]}$ 取得最大值时k的值．

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635

解答题普通

2. 某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：

数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	400	200	600
不优秀	200	200	400
合计	600	400	1000

(1) 判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2) 按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，有99%的把握判断变量A，B有关联．

解答题普通

3. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 $\text{[math]}$ ，收到0的概率为 $\text{[math]}$ ；发送1时，收到0的概率为 $\text{[math]}$ ，收到1的概率为 $\text{[math]}$ .现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $\text{[math]}$ ，则译码为1）.

(1) 若采用单次传输方案，依次发送 $\text{[math]}$ ，求依次收到 $\text{[math]}$ 的概率；

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.

解答题普通