如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ．

1. 如果两个分式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和为常数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 正整数，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“和整分式”，常数 $\text{[math]}$ 称为“和整值”．如分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“和整分式”，“和整值” $\text{[math]}$ ．

(1) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” $\text{[math]}$ ；

(2) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“和整分式”，且“和整值” $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为正整数，分式 $\text{[math]}$ 的值也为正整数．

①求 $\text{[math]}$ 所代表的代数式；

②求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

分式的加减法;

【答案】

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解答题普通

1. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\text{[math]}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即 $\text{[math]}$ 整式与真分式的和的形式）．

如： $\text{[math]}$ ；

解决下列问题：

(1) 分式 $\text{[math]}$ 是分式（填“真分式”或“假分式”）；

(2) 将假分式 $\text{[math]}$ 化为带分式；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 为整数，分式 $\text{[math]}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 若 $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求A的最小值；

(3) 若a， b为正整数，且 $\text{[math]}$ ，当A，B均为正整数时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．

(1) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．

(2) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．

解答题普通