问题背景：和都是等腰直角三角形，．

1. 问题背景： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 问题探究：连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点为F．

①如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是（填“相等”或“不相等”）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是（填“平行”或“垂直”）；

②如图2，M、N分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 问题拓展：当等腰直角 $\text{[math]}$ 旋转到如图3位置，连接 $\text{[math]}$ ，点H为 $\text{[math]}$ 中点，当B、C、D三点共线时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 等腰三角形的概念;

【答案】

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解答题普通

1. 某学校的劳动菜园的平面示意图是 $\text{[math]}$ ，如图1所示，两条主路 $\text{[math]}$ 交于点O，经测量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你解决以下问题：

(1) 劳动菜园的面积为______ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道 $\text{[math]}$ 对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在 $\text{[math]}$ 上，点N在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ （点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积；

(3) 数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出 $\text{[math]}$ 的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造 $\text{[math]}$ ，可以将动线 $\text{[math]}$ 等量转化到 $\text{[math]}$ ，就与另一条动线 $\text{[math]}$ 搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题．

解答题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的两点， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ．已知AB∥CD ， ∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2．

(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2) 若BD⊥AB ，求AC的长．

解答题普通