数学课上大家研究图形的性质．要求：每位同学画一个，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．以下为同学们的发现：小明：“我们组同学旋转某一相同角度，连接，都能得到平分． ”小丽：“时，点D落在上．”

1. 数学课上大家研究图形的性质．

要求：每位同学画一个 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ．

以下为同学们的发现：

小明：“我们组同学旋转某一相同角度 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，都能得到 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ． ”

小丽：“ $\text{[math]}$ 时，点D落在 $\text{[math]}$ 上．”

(1) 小明说的可以实现吗？如果可以，请求出这个 $\text{[math]}$ 的值，如果不可以请说明理由；

(2) 求小丽画出的 $\text{[math]}$ 底角的余弦值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，旋转线段 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 时，则C、D两点的距离为________．

【考点】

等腰三角形的性质; 等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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作图题普通

1. 图①、图②、图③均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点． $\text{[math]}$ 的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1) 在图①中的 $\text{[math]}$ 边上找到点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的中线；

(2) 在图②中的 $\text{[math]}$ 边上找到点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

(3) 在图③中的 $\text{[math]}$ 边上找到点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．

作图题普通

2. 在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作 $\text{[math]}$ 的垂线，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

尺规作图：过点D作 $\text{[math]}$ 于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．

证明：∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴　　，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴　　，

∴ $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴　　，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 　　，

即 $\text{[math]}$ ，

∴AC，AB，CD，DB成比例线段．

作图题普通