如图，在正方形中，点是对角线上一点与点、不重合，连结、．

1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，使得点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

(3) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分线．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，多边形 $\text{[math]}$ 是一个小型人工湖，多边形各边构成环湖路某班数学综合实践两个小组对部分环湖路进行了测量，数据包括：甲小组在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 在正西方向，点 $\text{[math]}$ 在正北方向，点 $\text{[math]}$ 在东北方向，在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 在正西方向，点 $\text{[math]}$ 在正南方向；乙小组测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

(1) 计算点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 某同学从 $\text{[math]}$ 去 $\text{[math]}$ 处回收测量工具，他有两条线路可以前往：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米）

综合题普通

2. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ （如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米；③牵线放风筝的小明的身高为 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果小明想风筝沿 $\text{[math]}$ 方向下降 $\text{[math]}$ 米，则他应该往回收线多少米？

综合题普通

3. 如图，某自动感应门的正上方 $\text{[math]}$ 处装着一个感应器，该感应器的有效感应范围不超过 $\text{[math]}$ ，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．现已知感应器离地面的高度 $\text{[math]}$ ，一个身高 $\text{[math]}$ 的学生 $\text{[math]}$ 缓慢走到离门 $\text{[math]}$ 的地方时（ $\text{[math]}$ ，假设此时人体与地面垂直），该学生头顶距离感应器多少米？感应门会自动打开吗？

综合题普通