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1.

(1) 【问题感知】如图1，在四边形ABCD 中， $\text{[math]}$ ，且AD=CD，①请直接写出AB、BC、BD的数量关系：；

②证明： BD平分∠ABC；

(2) 【迁移应用】如图2，四边形 ABCD 中， ∠ABC=60°， ∠ADC=120°， BE⊥AD， AB=BC= $\text{[math]}$ ， CD=1，计算 BE的长度；

(3) 【拓展研究】如图3，正方形ABCD中， E为BC边上一点，连接AE， F为AE边上一点，且 AF=BC，FG 垂直DF 交 AB于点G， EF=2， AG=5，直接写出正方形的边长.

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 四边形的综合; 旋转全等模型;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【问题探究】如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，延长 $\text{[math]}$ 至点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可得四边形 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(2) 【拓展提升】如图2，在 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(3) 【灵活应用】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点M是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

(1) 【初步感知】如图1，在三角形纸片ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将其沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕与AC交于点E ，求CE的长；

(2) 【深入探究】如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AE的长；

(3) 【拓展延伸】如图3，在长方形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

实践探究题困难

【母题再现】如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【知识探究】证明：如图 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：

(1) 请补全知识探究的证明过程．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若正方形边长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难