如图【母题再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．【知识探究】证明：如图，取的中点，连接．四边形是正方形，，．．结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：

1. 如图

【母题再现】如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【知识探究】证明：如图 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：

(1) 请补全知识探究的证明过程．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若正方形边长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ▲ ．（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

(1) 【探究问题】①在正方形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

②在菱形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

③在矩形ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，则对角线AC ， BD和a ， b 的数量关系有：AC²＋BD²＝；

(2) 【解决问题】如图1，在▱ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，猜想对角线AC ， BD和a ， b的数量关系有：AC²＋BD²＝ ▲ 并证明你的结论；

(3) 【知识应用】如图2，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝9，CD＝8，AD＝6，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，求AM的长．

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2. 问题提出

如图1，点F是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的角平分线交边 $\text{[math]}$ 于点E ，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

(1) 问题探究

先将图1问题特殊化，如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出下列线段的长度， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，再探究一般情形中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 问题拓展
如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.

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3. 【课本再现】如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点F.

(1) 求证 $\text{[math]}$ .（提示：取 $\text{[math]}$ 的中点G，连接 $\text{[math]}$ ）；

(2) 【类比迁移】如图2，若点E是 $\text{[math]}$ 边上任意一点（不与B，C重合），其他条件不变，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展应用】在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 于P，当 $\text{[math]}$ 时，如图3，请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

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