探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

1. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

(1) 【初步感知】如图1，在三角形纸片ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将其沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕与AC交于点E ，求CE的长；

(2) 【深入探究】如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AE的长；

(3) 【拓展延伸】如图3，在长方形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

【考点】

勾股定理; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【问题探究】如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，延长 $\text{[math]}$ 至点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可得四边形 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(2) 【拓展提升】如图2，在 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(3) 【灵活应用】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点M是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ▲ ．（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

(1) 【探究问题】①在正方形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

②在菱形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

③在矩形ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，则对角线AC ， BD和a ， b 的数量关系有：AC²＋BD²＝；

(2) 【解决问题】如图1，在▱ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，猜想对角线AC ， BD和a ， b的数量关系有：AC²＋BD²＝ ▲ 并证明你的结论；

(3) 【知识应用】如图2，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝9，CD＝8，AD＝6，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，求AM的长．

实践探究题困难

3. 问题提出

如图1，点F是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的角平分线交边 $\text{[math]}$ 于点E ，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

(1) 问题探究

先将图1问题特殊化，如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出下列线段的长度， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，再探究一般情形中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 问题拓展
如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.

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