我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．

1. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．

(1) 如图一，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上有一点D，过点D作 $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 于F，过点C作 $\text{[math]}$ 于G.利用面积证明： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，将矩形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，使点A与点C重合，点B落在 $\text{[math]}$ 处，点G为折痕 $\text{[math]}$ 上一点，过点G作 $\text{[math]}$ 于M， $\text{[math]}$ 于N.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图三，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E为线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 翻折变换（折叠问题）; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

(1) 计算： $\text{[math]}$ ；

(2) 数学实践活动中，将一张平行四边形纸片 $\text{[math]}$ 进行折叠（如图所示），折痕为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点F在矩形对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，当点F在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点G， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 将矩形ABCD按如图方式折叠：BE ， EG ， FG为折痕，若顶点A ， C ， D都落在点O处，且点B ， O ， G在同一直线上，同时点E ， O ， F在另一条直线上．请完成下列探究：

(1) ∠BEG的大小为；

(2) 若AD=4，则四边形BEGF的面积为．

综合题普通