在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点F在矩形对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，当点F在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点G， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，其中 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) ①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，解决以下问题：

①已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②证明： $\text{[math]}$ ．

综合题困难

2. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 沿 $\text{[math]}$ 折叠该纸片，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，折叠后的图形与矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．

①如图②，当点 $\text{[math]}$ 在第四象限时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

3. 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在 $\text{[math]}$ 轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠。

(1) 如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为；

(2) 如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥ $\text{[math]}$ 轴交CD于点H，交BC于点G.求证：EH＝CH；

(3) 在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式；

(4) 如图③，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。

综合题困难