已知，四边形为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．

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1. 已知，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1) 概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是（填序号）；

(2) 性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB²＋CD²＝AD²＋BC²；

(3) 解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝ $\text{[math]}$ ， AB＝3

①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；

②求GE的长．

综合题普通

2. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝ $\text{[math]}$ CD，点E是CD的中点.

(1) 求证：AE＝BC；

(2) 若AC＝4，AD＝4 $\text{[math]}$ ，求四边形ABCE的面积.

综合题普通

3. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
评价

(1) 求此时风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 若站在点A不动，想把风不沿 $\text{[math]}$ 方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？

综合题普通