已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线.

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的一条公切线.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 已知过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 分别表示 $\text{[math]}$ 的面积）， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 椭圆的应用; 直线与圆锥曲线的关系; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点 $\text{[math]}$ 作椭圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率都存在时，它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

(3) 求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 直线 $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角，探究椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的结论．

解答题普通