已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 直线 $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角，探究椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的结论．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ，

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 椭圆左焦点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

2. 给定椭圆 $\text{[math]}$ ，称圆心在原点O，半径为 $\text{[math]}$ 的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在C上．

(1) 求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；

(2) 点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，与椭圆C都只有一个交点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上位于 $\text{[math]}$ 两侧的动点，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动时，始终保持 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值．

解答题普通