如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点， .

1. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点 $\text{[math]}$ 作椭圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率都存在时，它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

(3) 求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

【考点】

椭圆的简单性质; 椭圆的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点.

①若线段 $\text{[math]}$ 中点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为定值？若是，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不是，请说明理由.

解答题困难

2. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为椭

圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B、

(1) 若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；

(2) 若 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求椭圆的方程．

解答题普通

3. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点M（﹣3，﹣1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

解答题困难