已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为

1. 已知斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$

(1) 证明： $\text{[math]}$

(2) 设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$

【考点】

向量在几何中的应用; 椭圆的简单性质; 椭圆的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程.

(2) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 外且位于第一象限，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于另外两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的异侧 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标的取值范围.

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别是 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，点 $\text{[math]}$ 为抛物线与椭圆 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点，且满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，设 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.

解答题普通

3. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求椭圆E的方程；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足 $\text{[math]}$ ，连接CM，交椭圆E于点 $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ ．

解答题普通