已知椭圆E：的离心率，焦距为． Ⅰ 求椭圆E的方程； Ⅱ 若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足，连接CM，交椭圆E于点证明：为定值为坐标原点．

1. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求椭圆E的方程；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足 $\text{[math]}$ ，连接CM，交椭圆E于点 $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ ．

【考点】

椭圆的简单性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别是 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，点 $\text{[math]}$ 为抛物线与椭圆 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点，且满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，设 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.

解答题普通

2. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞D）的离心率为 $\text{[math]}$ ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a、b的值；

(2) C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

解答题普通

3. 已知椭圆C₁的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而以双曲线C₂的左、右顶点分别是椭圆C₁的左、右焦点．

(1) 求双曲线C₂的方程；

(2) 记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C₂相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．

解答题困难