若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数。例如：完全平方数具有如下一些性质，性质1：末位数只能是 0，1，4，5，6，9性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。根据材料解决下列各题：

1. 若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数。

例如： $\text{[math]}$

完全平方数具有如下一些性质，

性质1：末位数只能是 0，1，4，5，6，9

性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。根据材料解决下列各题：

(1) 若 $\text{[math]}$ 是完全平方数，求 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 若一个正整数，它加上 61 是一个完全平方数，当减去 11 是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数。

(3) 设 $\text{[math]}$ 为完全平方数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，求 $\text{[math]}$ 的值。

【考点】

定义新运算; 数字问题; 位值原则;

【答案】

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解决问题普通

1. 材料一：若一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c、d，则这个四位数可以表示为 $\text{[math]}$ 材料二：若一个四位数 abcd满足bc $\text{[math]}$ 我们就称这个四数是平方和数，如对于四位数6453， $\text{[math]}$ 所以6453是平方和数，当然3456 也是平方和数。

请根据以上信息完成下面问题：

(1) 判断2457， 5414是否为平方和数，并说明理由。

(2) 若四位数 $\text{[math]}$ 是平方和数，请求出这个数。

解决问题普通

2. 着一个四位正整数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 我们就称该数是“心想事成数”，比如：对于四位数5263， ∵5+3=2+6，∴5263是“心想事成数”，对于四位数1276， ∵1+6≠2+7，∴1276不是“心想事成数。

(1) 判断3625是否为“心想事成数”，并说明理由。

(2) 若一个“心想事成数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和能被8整除，请求出所有满足条件的“心想事成数”。

解决问题困难

3. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难