已知中，，平分，，，点，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，，相交于点．

1. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图1，如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 长．

【考点】

角平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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计算题困难

1. 《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 一组对边的中点， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．(参考数据： $\text{[math]}$ )

计算题普通

2. 阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $\text{[math]}$ 得出，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式 $\text{[math]}$ 求得 $\text{[math]}$ 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $\text{[math]}$ 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\text{[math]}$ 计算：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为多少；

②如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用你所学的几何知识求线段 $\text{[math]}$ 的长．

计算题普通

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，

①直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②若抛物线上有一点P，使 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．

(2) 如图2，平移直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点G，若点G在定直线 $\text{[math]}$ 上运动，求m的值．

计算题困难