综合与实践.【问题情境】如图(1)，等腰直角三角形CAB和等腰直角三角形CED的直角顶点重合，.将绕点顺时针旋转，连接AE，BD，延长AE交射线BD于点.

1. 综合与实践.

【问题情境】

如图(1)，等腰直角三角形CAB和等腰直角三角形CED的直角顶点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BD，延长AE交射线BD于点 $\text{[math]}$ .

(1) 【猜想证明】

如图(2)，当 $\text{[math]}$ 时，判断四边形CDFE的形状，并说明理由.

(2) 如图(3)，在△CED旋转的过程中，连接CF，探究AF，BF，CF之间的数量关系.

(3) 【拓展应用】

在△CED旋转的过程中，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出CF的长度.

【考点】

正方形的判定; 三角形的综合; 手拉手全等模型; 四点共圆模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题提出

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究：

①先将问题特殊化如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，易证 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），请利用全等探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；

②再探究一般情形如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合时，证明（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．

(2) 问题拓展：

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直接写出一个等式，表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

实践探究题困难

(1) 问题背景如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D为BC边上的一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE；

(2) 尝试运用如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的一动点，以AD为斜边在AD右侧构造Rt△AMD，∠AMD=90°，∠ADM=30°.连接CM，设BD=a，CD=b，求△CDM的面积（用a，b表示）；

(3) 拓展创新如图，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°，∠BAD=30°，AB=1， $\text{[math]}$ ，直接写出△ABC的面积.

实践探究题困难

3. 综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线AD平分 $\text{[math]}$ ，将射线AD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到射线 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接BE分别交AD，AC于点M，N，连接CE.问： $\text{[math]}$ 之间的数量关系是什么？线段DM，CN之间的数量关系是什么？