【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动.两块三角板分别记作和，设AB.【操作探究】如图(1)，先将和的边重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接BC.

1. 【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $\text{[math]}$ 的三角板开展数学探究活动.两块三角板分别记作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设AB $\text{[math]}$ .

【操作探究】

如图(1)，先将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 重合，再将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，旋转过程中 $\text{[math]}$ 保持不动，连接BC.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3) 如图(2)，取BC的中点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 旋转一周，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为.

【考点】

正方形的判定与性质; 三角形的综合; 解直角三角形—边角关系; 定角定弦辅助圆模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题提出

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究：

①先将问题特殊化如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，易证 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），请利用全等探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；

②再探究一般情形如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合时，证明（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．

(2) 问题拓展：

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直接写出一个等式，表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

实践探究题困难

(1) 问题背景如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D为BC边上的一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE；

(2) 尝试运用如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的一动点，以AD为斜边在AD右侧构造Rt△AMD，∠AMD=90°，∠ADM=30°.连接CM，设BD=a，CD=b，求△CDM的面积（用a，b表示）；

(3) 拓展创新如图，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°，∠BAD=30°，AB=1， $\text{[math]}$ ，直接写出△ABC的面积.

实践探究题困难

3. 综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线AD平分 $\text{[math]}$ ，将射线AD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到射线 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接BE分别交AD，AC于点M，N，连接CE.问： $\text{[math]}$ 之间的数量关系是什么？线段DM，CN之间的数量关系是什么？