在中，，点是直线上一点（不与重合），使．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点（不与 $\text{[math]}$ 重合），使 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度；

(2) 如图2，如果 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度；

(3) 设 $\text{[math]}$ ．

①如图3，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动，则 $\text{[math]}$ 之间满足怎样的数量关系；

②当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上移动，请直接写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形内角和定理; 等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．

(1) 如图1，在“手拉手”图形中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点O，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

解答题普通

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 $\text{[math]}$ ，点Q运动的速度是 $\text{[math]}$ ，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题．

(1) $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ；（用含t的代数式表示）

(2) 如图①，点P与点Q运动的过程中， $\text{[math]}$ 能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理．

(3) 如图②，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点P、点Q在运动过程的某一时刻 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，求此时 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

对于 $\text{[math]}$ 所在平面内的点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 边上存在不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点在 $\text{[math]}$ 上或其内部，则称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点时，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 构成图形的周长是；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，且 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

解答题困难